Dieser Text beschreibt Kovariante Ableitung.
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Kovariante Ableitung ArtikelDie kovariante Ableitung ist ein krummliniger Differentialoperator zur Berechnung von Bewegungsbahnen eines freien Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit.
Frei heißt in diesem Zusammenhang, dass keine äußeren Kräfte auf das Teilchen einwirken, die seine Bahn beeinflussen könnten. Die Gravitation ist in diesem Sinne keine Kraft die auf das Teilchen wirkt, sie drückt sich in der Krümmung der Raumzeit aus, gibt also die Bahnen vor, entlang der sich ein Teilchen bewegen kann.
Die kovariante Ableitung geht in dem flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie in die partielle Ableitung über.
Dieser Artikel ist sehr formal. Daher werden die Ergebnisse und ihre Interpretation kurz beschrieben.
Es gilt  für den kovarianten Differentialoperator D (der noch zu definieren ist).
In der Newtonschen Mechanik gilt die Bedingung  für die Komponenten des Geschwindigkeits-Vektors  eines freien Teilchens, d.h. das Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
In diesem Teil der Physik ist die Zeit t gleich der Eigenzeit τ eines Teilchens, so dass man zwischen dt und dτ nicht unterscheiden muss.
Man erkennt, dass die kovariante Ableitung, differenziert nach der Eigenzeit τ, und die Newtonsche Ableitung, differenziert nach der Zeit t, angewandt auf den Geschwindigkeits-Vektor eines freien Teilchens beide den Wert Null ergeben.
Der Unterschied besteht darin, dass die Bewegung eines freien Teilchens in der Newtonschen Mechanik den Einfluss eines Gravitationsfeldes ausschließt, während die kovariante Ableitung die Bewegung eines freien Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit beschreibt, deren Krümmung Gravitation hervorruft.
Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass der Geschwindigkeitsvektor in der Newtonschen Mechanik drei Komponenten hat, während der Geschwindigkeitsvektor der Relativitätstheorie aus vier Komponenten besteht.
(vgl. das Kapitel über Vierervektoren)
Die Ableitung in dem Einzelnen | |
In die Definition der kovarianten Ableitung gehen die Christoffelsymbole ein.
Man kann sich die kovariante Ableitung plausibel machen, wenn man von der Bewegungsgleichung eines freien Teilchens in dem Gravitationsfeld ausgeht, wie sie im Artikel über Christoffelsymbole hergeleitet wurde:
Der Ausdruck  beschreibt die Komponente κ des Geschwindigkeitsvektors (ui), und
 die Komponente μ des Geschwindigkeitsvektors (ui).
Daher kann man diese Gleichung folgendermaßen schreiben:
Multipliziert man diese Gleichung formal mit dτ so erhält man:
duκ = - Γκμ,ν * uμ * dxν
Für das weitere Vorgehen benötigt man Aussagen aus der Differentialgeometrie, wie mit Ausdrücken der Form duκ verfahren werden kann. Es handelt sich um ein totales Differential.
Der Geschwindigkeitsvektor (uμ) hängt ab von den Koordinaten xk des Ortsvektors (xμ), d.h. an jedem Ort kann das Teilchen eine andere Geschwindigkeit haben.
Dabei wird über den Index ν summiert, er kann die Werte 0,1,2,3 annehmen.
Umstellen der Gleichung mit den Christoffelsymbolen liefert
Der Ausdruck  beschreibt das kovariante Differential D.
Aus dem vorhergehenden folgt dass Duμ = 0 als Bedingung für die Bewegungsbahn eines freien Teilchens in dem Gravitationsfeld erfüllt sein muss.
heißt kovariante Ableitung (oder kovariantes Differential) von uμ nach xν
Im flachen Raum der speziellen Relativitätstheorie verschwinden die Christoffelsymbole, und man sieht dass die kovariante Ableitung in die partielle Ableitung übergeht.
Die vorangehende Ableitung wurde in dem Rahmen der klassischen Differentialgeometrie vorgenommen, sie dient dazu, die kovariante Ableitung plausibel zu machen. Es gibt einen streng mathematischen Zugang in der Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, allerdings muss man sich vorher mit der dort benutzten Terminologie vertraut machen.
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